3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDА₁B₁C₁D₁ рёбра CD, CB и диагональ боковой грани CD₁ равны соответственно 3, 4 и 5. Найдите объём параллелепипеда ABCDABCD₁.

Задание 3. Объём прямоугольного параллелепипеда

Дано:

• Прямоугольный параллелепипед ABCDА₁B₁C₁D₁.
• Ребро \( CD = 3 \).
• Ребро \( CB = 4 \).
• Диагональ боковой грани \( CD₁ = 5 \).

Найти: объём параллелепипеда.

Решение:

1. Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \( V = a \cdot b \cdot c \), где \( a, b, c \) — длины рёбер, выходящих из одной вершины. В нашем случае рёбра, выходящие из вершины \( C \) (или \( D \), \( B \), \( A \), и т.д.) — это \( CD \), \( CB \) и \( CC₁ \) (или \( DD₁ \), \( BB₁ \), \( AA₁ \) соответственно).
2. Мы знаем длины рёбер \( CD = 3 \) и \( CB = 4 \).
3. Нам нужно найти длину ребра \( CC₁ \) (высоты параллелепипеда). Рассмотрим прямоугольный треугольник \( CDC₁ \). По теореме Пифагора: \[ CD^2 + CC₁^2 = CD₁^2 \]
4. Подставим известные значения: \[ 3^2 + CC₁^2 = 5^2 \]
5. \( 9 + CC₁^2 = 25 \)
6. \( CC₁^2 = 25 - 9 = 16 \)
7. \( CC₁ = \sqrt{16} = 4 \).
8. Теперь у нас есть длины всех трёх рёбер, выходящих из одной вершины: \( CD = 3 \), \( CB = 4 \), \( CC₁ = 4 \).
9. Вычислим объём: \( V = CD \cdot CB \cdot CC₁ = 3 \cdot 4 \cdot 4 = 48 \).

Ответ: 48.