11. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 40 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Задание 11. Уровень воды в цилиндре

Дано:

• Первоначальный уровень воды в цилиндре \( h_1 = 40 \) см.
• Второй цилиндрический сосуд имеет радиус \( r_2 \), который вдвое больше радиуса первого сосуда \( r_1 \). \( r_2 = 2r_1 \).

Найти: новый уровень воды \( h_2 \) в цилиндре.

Решение:

1. Объём воды в цилиндре остаётся неизменным при переливании.
2. Объём цилиндра вычисляется по формуле: \( V = \pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота.
3. Объём воды в первом сосуде: \( V_1 = \pi r_1^2 h_1 \).
4. Объём воды во втором сосуде: \( V_2 = \pi r_2^2 h_2 \).
5. Так как \( V_1 = V_2 \), то \( \pi r_1^2 h_1 = \pi r_2^2 h_2 \).
6. Сократим \( \pi \) с обеих сторон: \( r_1^2 h_1 = r_2^2 h_2 \).
7. Подставим условие \( r_2 = 2r_1 \): \( r_1^2 h_1 = (2r_1)^2 h_2 \).
8. \( r_1^2 h_1 = 4r_1^2 h_2 \).
9. Сократим \( r_1^2 \) (поскольку \( r_1 \) не может быть равно нулю): \( h_1 = 4h_2 \).
10. Выразим \( h_2 \): \( h_2 = \frac{h_1}{4} \).
11. Подставим значение \( h_1 = 40 \) см: \( h_2 = \frac{40}{4} = 10 \) см.

Ответ: 10.