3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 5√3 см, а высота равна 5 см. Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Ответ запишите в градусах.

Решение:

1. Найдем апофему основания:

В правильной треугольной пирамиде основание – равносторонний треугольник. Высота равностороннего треугольника (апофема основания) находится по формуле $$h_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$, где $$a$$ – сторона основания.

\[ a = 5\sqrt{3} \text{ см} \]\[ h_{осн} = \frac{(5\sqrt{3})\sqrt{3}}{2} = \frac{5 \times 3}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ см} \]

2. Найдем расстояние от центра основания до вершины бокового ребра:

В правильной пирамиде высота пирамиды (H=5 см), апофема основания ($$h_{осн}$$), и апофема боковой грани ($$h_б$$) образуют прямоугольный треугольник. Также, расстояние от центра основания до середины стороны основания (радиус вписанной окружности, $$r_{вп}$$) равно $$r_{вп} = \frac{1}{3} h_{осн}$$.

\[ r_{вп} = \frac{1}{3} \times 7.5 = 2.5 \text{ см} \]

3. Найдем длину бокового ребра:

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (H), радиусом вписанной окружности ($$r_{вп}$$) и боковым ребром (l).

По теореме Пифагора: $$l^2 = H^2 + r_{вп}^2$$.

\[ l^2 = 5^2 + (2.5)^2 = 25 + 6.25 = 31.25 \]\[ l = \sqrt{31.25} \text{ см} \]

4. Найдем угол наклона бокового ребра к плоскости основания:

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания – это угол между боковым ребром и его проекцией на плоскость основания. Проекция бокового ребра – это радиус вписанной окружности ($$r_{вп}$$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (H), радиусом вписанной окружности ($$r_{вп}$$) и боковым ребром (l). Угол наклона бокового ребра находится как угол между гипотенузой (l) и катетом ($$r_{вп}$$).

Используем тангенс угла:

\[ \tan(\alpha) = \frac{H}{r_{вп}} = \frac{5}{2.5} = 2 \]\[ \alpha = \arctan(2) \text{ градусов} \]

Используя калькулятор, находим значение угла:

\[ \alpha \approx 63.43^{\circ} \]

Ответ: Угол наклона бокового ребра к плоскости основания приблизительно равен 63.43°.