3). В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 12 см, а апофема 15 см. Найти объём.

Решение:

Дано:

• Высота пирамиды \( H = 12 \) см
• Апофема \( l = 15 \) см

Найти:

• Объём \( V \)

1. Найдём радиус вписанной окружности в основание \( r \) (это половина стороны квадрата основания, перпендикулярная апофеме). Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, апофемой и радиусом: \( r = \sqrt{l^2 - H^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \) см.
2. Найдём сторону квадрата основания \( a \): \( a = 2r = 2 \cdot 9 = 18 \) см.
3. Найдём площадь основания пирамиды: \( S_{осн} = a^2 = 18^2 = 324 \) см².
4. Вычислим объём пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 324 \cdot 12 = 324 \cdot 4 = 1296 \) см³.

Ответ: объём \( 1296 \) см³.