1). Прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Найти объём и площадь полной поверхности полученного геометрического тела.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник с катетами \( a = 6 \) см и \( b = 8 \) см. Треугольник вращается вокруг меньшего катета (\( a = 6 \) см). При вращении образуется конус.

1. Определим элементы конуса:
   Высота конуса \( h = a = 6 \) см.
   Радиус основания конуса \( r = b = 8 \) см.
   Образующая конуса \( l \) равна гипотенузе прямоугольного треугольника: \( l = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) см.
2. Найдём объём конуса:
   Формула объёма конуса: \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).
   \[ V = \(\frac{1}{3}\)\(\pi\) \(\cdot\) 8^2 \(\cdot\) 6 = \(\frac{1}{3}\)\(\pi\) \(\cdot\) 64 \(\cdot\) 6 = \(\pi\) \(\cdot\) 64 \(\cdot\) 2 = 128\(\pi\) \) см³.
3. Найдём площадь полной поверхности конуса:
   Формула площади полной поверхности конуса: \( S = \pi r (r + l) \).
   \[ S = \(\pi\) \(\cdot\) 8 (8 + 10) = \(\pi\) \(\cdot\) 8 \(\cdot\) 18 = 144\(\pi\) \) см².

Ответ: Объём конуса равен \( 128\pi \) см³, площадь полной поверхности равна \( 144\pi \) см².