1). Прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Найти объём и площадь полной поверхности полученного геометрического тела.

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета образуется конус.

Дано:

• Катет 1: \( r = 6 \) см (радиус основания конуса)
• Катет 2: \( h = 8 \) см (высота конуса)

Найти:

• Объём \( V \)
• Площадь полной поверхности \( S_{полн} \)

1. Найдём образующую конуса \( l \) по теореме Пифагора: \( l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) см.
2. Вычислим объём конуса: \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 = 12\pi \cdot 8 = 96\pi \) см³.
3. Вычислим площадь полной поверхности конуса: \( S_{полн} = \pi r (r + l) = \pi \cdot 6 (6 + 10) = 6\pi \cdot 16 = 96\pi \) см².

Ответ: объём \( 96\pi \) см³, площадь полной поверхности \( 96\pi \) см².