3. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро AS равно 17, сторона основания равна 8\(\sqrt{2}\). Найдите объём пирамиды (см. рис. 155).

Решение:

Объём пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды.

1. Площадь основания: Основание ABCD — квадрат со стороной \( a = 8\sqrt{2} \).
   \( S_{осн} = a^2 = (8\sqrt{2})^2 = 64 \cdot 2 = 128 \).
2. Высота пирамиды: В правильной пирамиде высота падает в центр основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник ASK, где K — центр квадрата ABCD. Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} = (8\sqrt{2})\sqrt{2} = 8 \cdot 2 = 16 \). Половина диагонали \( AK = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).
   По теореме Пифагора в \( \triangle ASK \): \( AS^2 = AK^2 + SK^2 \)
   \( 17^2 = 8^2 + h^2 \)
   \( 289 = 64 + h^2 \)
   \( h^2 = 289 - 64 = 225 \)
   \( h = \sqrt{225} = 15 \).
3. Объём пирамиды:
   \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 128 \cdot 15 = 128 \cdot 5 = 640 \).

Ответ: 640