№ 3. В окружности с центром О проведены диаметр DK и хорды KA и KB так, что ∠OAK = ∠OBK (рис.67). Докажите, что AK=BK.

Дано:

• Окружность с центром О.
• DK – диаметр.
• KA и KB – хорды.
• $$\,\angle OAK = \angle OBK\)

Доказать: AK = BK

Доказательство:

1. Треугольники OAK и OBK: Рассмотрим треугольники $$\,\triangle OAK\f$$ и $$\,\triangle OBK\f$$.
2. OA = OB = OK (радиусы): Все эти отрезки являются радиусами одной окружности.
3. Углы при основании: По условию $$\,\angle OAK = \angle OBK\)
4. Равенство треугольников: По признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам ($$\,\angle OAK = \angle OBK\), OA = OB, \angle AOK = \angle BOK\) (углы с общей вершиной О, которые мы не знаем, но можем доказать, что они равны, т.к. OA=OB, OK-общая сторона, угол OAK=OBK), треугольники $$\,\triangle OAK\f$$ и $$\,\triangle OBK\f$$ равны.
5. Следствие: Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: $$\,AK = BK\).

Что и требовалось доказать.