3. В четырёхугольнике ABCD BC || AD и ∆ABC = ∆ADC. Докажи, что ABCD — параллелограмм.

Решение:

Дано: ABCD — четырёхугольник, BC || AD, \( \triangle ABC = \triangle ADC \).

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Из условия \( \triangle ABC = \triangle ADC \) следует, что соответствующие стороны и углы этих треугольников равны.
2. Так как \( \triangle ABC = \triangle ADC \), то сторона AC является общей стороной для обоих треугольников.
3. По условию BC || AD. AC — секущая. Углы \( \angle BCA \) и \( \angle CAD \) являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. Следовательно, \( \angle BCA = \angle CAD \).
4. Из равенства треугольников \( \triangle ABC = \triangle ADC \) следует, что \( AB = CD \) (как соответствующие стороны).
5. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \). У нас есть:
• \( AB = CD \) (по доказанному в пункте 4)
• \( BC = AD \) (по условию равенства треугольников)
• \( AC = AC \) (общая сторона)
6. Таким образом, \( \triangle ABC = \triangle CDA \) по трем сторонам (3-й признак равенства треугольников).
7. Из равенства \( \triangle ABC = \triangle CDA \) следует, что \( \angle BAC = \angle DCA \) (как соответствующие углы).
8. Рассмотрим прямые AB и CD и секущую AC. Углы \( \angle BAC \) и \( \angle DCA \) являются накрест лежащими. Так как \( \angle BAC = \angle DCA \), то прямые AB и CD параллельны.
9. Итак, мы доказали, что BC || AD (по условию) и AB || CD (по доказанному в пункте 8).
10. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.