3. Упростите выражение: (y²/y²-9 + 1/3-y) ⋅ (y²+6y+9)/5

Решение:

1. Приведём дроби в первой скобке к общему знаменателю \( (y^2-9) \). Для этого вторую дробь \( \frac{1}{3-y} \) умножим на \( \frac{-(y+3)}{-(y+3)} \) чтобы получить \( \frac{-(y+3)}{-(3-y)(y+3)} = \frac{-y-3}{-(y^2-9)} = \frac{y+3}{y^2-9} \).
2. Сложим дроби в первой скобке: \( \frac{y^2}{y^2-9} + \frac{y+3}{y^2-9} = \frac{y^2+y+3}{y^2-9} \).
3. Разложим числитель второй дроби на множители: \( y^2+6y+9 = (y+3)^2 \).
4. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{y^2+y+3}{y^2-9} \cdot \frac{(y+3)^2}{5} \).
5. Заметим, что \( y^2-9 = (y-3)(y+3) \).
6. Сократим \( y+3 \): \( \frac{y^2+y+3}{(y-3)(y+3)} \cdot \frac{(y+3)(y+3)}{5} = \frac{y^2+y+3}{y-3} \cdot \frac{y+3}{5} \).
7. Умножим: \( \frac{(y^2+y+3)(y+3)}{5(y-3)} \).
8. Раскроем скобки в числителе: \( y^3 + 3y^2 + y^2 + 3y + 3y + 9 = y^3 + 4y^2 + 6y + 9 \).
9. Итоговое выражение: \( \frac{y^3+4y^2+6y+9}{5(y-3)} \).

Ответ: \( \frac{y^3+4y^2+6y+9}{5(y-3)} \).