3. Упростите выражение: $$ \frac{a^2}{a^2 + 2ab + b^2} : \left( \frac{a}{a + b} - \frac{ab}{b^2 - a^2} \right) $$

Задание 3. Упрощение алгебраического выражения

Нам нужно упростить следующее выражение:

\[ \frac{a^2}{a^2 + 2ab + b^2} : \left( \frac{a}{a + b} - \frac{ab}{b^2 - a^2} \right) \]

Шаг 1: Преобразуем знаменатели.

Заметим, что \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \) (формула квадрата суммы).

Также заметим, что \( b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2) = -(a - b)(a + b) \) (разность квадратов).

Теперь выражение выглядит так:

\[ \frac{a^2}{(a + b)^2} : \left( \frac{a}{a + b} - \frac{ab}{-(a - b)(a + b)} \right) \]\[ \frac{a^2}{(a + b)^2} : \left( \frac{a}{a + b} + \frac{ab}{(a - b)(a + b)} \right) \]

Шаг 2: Приводим дроби в скобках к общему знаменателю.

Общий знаменатель для дробей в скобках — \( (a - b)(a + b) \).

\[ \frac{a}{a + b} = \frac{a(a - b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{a^2 - ab}{(a - b)(a + b)} \]

Теперь выражение в скобках:

\[ \frac{a^2 - ab}{(a - b)(a + b)} + \frac{ab}{(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 - ab + ab}{(a - b)(a + b)} = \frac{a^2}{(a - b)(a + b)} \]

Шаг 3: Заменяем деление умножением.

Наше исходное выражение теперь:

\[ \frac{a^2}{(a + b)^2} : \frac{a^2}{(a - b)(a + b)} \]\[ \frac{a^2}{(a + b)^2} \times \frac{(a - b)(a + b)}{a^2} \]

Шаг 4: Сокращаем.

Сокращаем \( a^2 \) и один множитель \( (a + b) \):

\[ \frac{1}{(a + b)} \times \frac{(a - b)}{1} \]\[ \frac{a - b}{a + b} \]

Ответ: Упрощенное выражение равно \( \frac{a - b}{a + b} \).