3. Упростить выражение: \( ctg^2\alpha \cdot (1-\cos2\alpha) + \cos^2\alpha \)

Решение:

1. Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \).
2. Подставим в выражение: \( ctg^2\alpha \cdot (1 - (1 - 2\sin^2\alpha)) + \cos^2\alpha \)
3. Упростим выражение в скобках: \( ctg^2\alpha \cdot (1 - 1 + 2\sin^2\alpha) + \cos^2\alpha = ctg^2\alpha \cdot 2\sin^2\alpha + \cos^2\alpha \)
4. Представим \( ctg^2\alpha \) как \( \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} \): \( \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot 2\sin^2\alpha + \cos^2\alpha \)
5. Сократим \( \sin^2\alpha \): \( 2\cos^2\alpha + \cos^2\alpha \)
6. Сложим подобные слагаемые: \( 3\cos^2\alpha \)

Ответ: \( 3\cos^2\alpha \)