3. Тип 16 № 349578 i Касательные в точках А и В к окружности с цен- тром О пересекаются под углом 88°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Задание 3. Угол при пересечении касательных

Дано:

• Окружность с центром O.
• Касательные к окружности в точках A и B пересекаются в некоторой точке (назовем её P).
• Угол между касательными ∠APB = 88°.

Найти: угол ∠ABO.

Решение:

1. Рассмотрим четырёхугольник OAPB.
2. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠OAP = 90° и ∠OBP = 90°.
3. Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°. Поэтому: \[ \angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360° \].
4. Подставим известные значения: \[ \angle AOB + 90° + 88° + 90° = 360° \].
5. \[ \angle AOB + 268° = 360° \].
6. \[ \angle AOB = 360° - 268° = 92° \].
7. Теперь рассмотрим треугольник OAB.
8. OA и OB — радиусы окружности, поэтому OA = OB.
9. Следовательно, треугольник OAB — равнобедренный.
10. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA.
11. Сумма углов в треугольнике OAB равна 180°.
12. \[ \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180° \].
13. Заменим ∠OAB на ∠OBA: \[ \angle OBA + \angle OBA + 92° = 180° \].
14. \[ 2 \cdot \angle OBA = 180° - 92° = 88° \].
15. \[ \angle OBA = \frac{88°}{2} = 44° \].
16. Угол ∠ABO (который мы ищем) совпадает с углом ∠OBA.

Ответ: 44.