1. Тип 15 № 350400 i В треугольнике АВС отмечены середины М и № сторон ВС и АС соответственно. Площадь треугольника CNM равна 35. Найдите площадь четырехугольника АВМИ.

Задание 1. Площадь четырехугольника

Дано:

• Треугольник ABC.
• M — середина BC.
• N — середина AC.
• Площадь треугольника CNM равна 35.

Найти: площадь четырехугольника ABMN.

Решение:

1. Поскольку M и N — середины сторон BC и AC соответственно, отрезок MN является средней линией треугольника ABC.
2. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. Треугольник CNM подобен треугольнику CBA с коэффициентом подобия 1:2.
3. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Обозначим площадь треугольника ABC как S_ABC. Тогда площадь треугольника CNM (S_CNM) относится к площади ABC так: \[ \frac{S_{CNM}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]
4. Таким образом, площадь треугольника ABC в 4 раза больше площади треугольника CNM: \[ S_{ABC} = 4 \cdot S_{CNM} = 4 \cdot 35 = 140 \].
5. Площадь четырехугольника ABMN равна разности площадей треугольника ABC и треугольника CNM: \[ S_{ABMN} = S_{ABC} - S_{CNM} = 140 - 35 = 105 \].

Ответ: 105.