3. Решите уравнение: (\(\frac{(x+3)(x+4)}{15}\) - \(\frac{5(1-x^2)}{6}\)) = \(\frac{(1+3x)^2}{10}\)

Решение:

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю, который равен 30.

Левая часть:

\(\frac{(x+3)(x+4)}{15} - \frac{5(1-x^2)}{6} = \frac{2(x+3)(x+4) - 5 \cdot 5(1-x^2)}{30} = \frac{2(x^2 + 7x + 12) - 25(1-x^2)}{30} = \frac{2x^2 + 14x + 24 - 25 + 25x^2}{30} = \frac{27x^2 + 14x - 1}{30}\)

Правая часть:

\(\frac{(1+3x)^2}{10} = \frac{1 + 6x + 9x^2}{10} = \frac{3(1 + 6x + 9x^2)}{30} = \frac{3 + 18x + 27x^2}{30}\)

Приравняем левую и правую части:

\(\frac{27x^2 + 14x - 1}{30} = \frac{27x^2 + 18x + 3}{30}\)

Умножим обе части на 30:

\(27x^2 + 14x - 1 = 27x^2 + 18x + 3\)

Вычтем \(27x^2\) из обеих частей:

\(14x - 1 = 18x + 3\)

Перенесём члены с \(x\) в одну сторону, а константы в другую:

\(14x - 18x = 3 + 1\)

\(-4x = 4\)

Разделим обе части на -4:

\(x = -1\)

Проверка:

Подставим \(x = -1\) в исходное уравнение:

Левая часть: \(\frac{(-1+3)(-1+4)}{15} - \frac{5(1-(-1)^2)}{6} = \frac{2 \cdot 3}{15} - \frac{5(1-1)}{6} = \frac{6}{15} - 0 = \frac{2}{5}\)

Правая часть: \(\frac{(1+3(-1))^2}{10} = \frac{(1-3)^2}{10} = \frac{(-2)^2}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)

Левая часть равна правой части, значит, \(x = -1\) — верное решение.

Ответ: \(x = -1\).