№3 Решите уравнение: a) x² - 5x = 0 б) 4x² - 36 = 0 в) x² + 7x + 12 = 0

Решение:

а) x² - 5x = 0

Это квадратное уравнение. Можно решить его, вынеся общий множитель за скобки. Общий множитель здесь — \(x\).

\[ x(x - 5) = 0 \]

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю.

Значит, либо \(x = 0\), либо \(x - 5 = 0\).

Из второго уравнения получаем \(x = 5\).

б) 4x² - 36 = 0

Это тоже квадратное уравнение. Можно решить его двумя способами:

Способ 1: Вынесение общего множителя и решение.

Вынесем общий множитель 4:

\[ 4(x^2 - 9) = 0 \]

Разделим обе части на 4:

\[ x^2 - 9 = 0 \]

Теперь это разность квадратов. Можно решить как \(x^2 = 9\), откуда \(x = \pm \sqrt{9}\), то есть \(x = \pm 3\).

Способ 2: Разность квадратов.

Заметим, что \(4x^2 = (2x)^2\) и \(36 = 6^2\). Поэтому уравнение можно записать как:

\[ (2x)^2 - 6^2 = 0 \]

Разложим по формуле разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\):

\[ (2x - 6)(2x + 6) = 0 \]

Приравниваем каждый множитель к нулю:

\(2x - 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3\)

\(2x + 6 = 0 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3\)

в) x² + 7x + 12 = 0

Это полное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\)

В нашем случае: \(a = 1\), \(b = 7\), \(c = 12\).

\[ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]

Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных действительных корня.

Формула корней: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

\[ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Ответ: а) 0; 5, б) 3; -3, в) -3; -4