3. Решить неравенство: (1 2/7)^(x^2-4) ≤ 1.

Решение:

Данное неравенство имеет вид \( a^b \le 1 \), где \( a = 1 \frac{2}{7} \) и \( b = x^2 - 4 \).

1. Анализ основания степени:

Основание степени \( a = 1 \frac{2}{7} \). Так как \( 1 < 1 \frac{2}{7} \), основание степени больше 1.

2. Сравнение степени с нулем:

При основании степени больше 1, неравенство \( a^b \le 1 \) равносильно неравенству \( b \le 0 \).

В нашем случае \( b = x^2 - 4 \), поэтому неравенство примет вид:

\[ x^2 - 4 \le 0 \]

3. Решение квадратного неравенства:

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \):

\[ (x - 2)(x + 2) \le 0 \]

Найдем корни соответствующего уравнения \( (x - 2)(x + 2) = 0 \): \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -2] \), \( [-2; 2] \) и \( [2; \infty) \). Проверим знак выражения \( (x - 2)(x + 2) \) на каждом интервале:

• При \( x < -2 \), например \( x = -3 \): \( (-3 - 2)(-3 + 2) = (-5)(-1) = 5 > 0 \).
• При \( -2 < x < 2 \), например \( x = 0 \): \( (0 - 2)(0 + 2) = (-2)(2) = -4 < 0 \).
• При \( x > 2 \), например \( x = 3 \): \( (3 - 2)(3 + 2) = (1)(5) = 5 > 0 \).

Нам нужно, чтобы выражение было \( \le 0 \), поэтому выбираем интервал, где знак минус, включая границы.

4. Запись ответа:

Решением неравенства \( x^2 - 4 \le 0 \) является промежуток \( [-2; 2] \).

Ответ: \( [-2; 2] \).