3. Прямоугольный треугольник с катетами 12 и 16 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислить объём полученной фигуры.

Дано:

Прямоугольный треугольник с катетами \( a = 12 \) см и \( b = 16 \) см.

Вращается вокруг меньшего катета (12 см).

Найти:

Объём полученной фигуры \( V \).

Решение:

1. При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов получается конус.
2. Меньший катет (12 см) является высотой конуса \( H = 12 \) см.
3. Больший катет (16 см) является радиусом основания конуса \( R = 16 \) см.
4. Формула объёма конуса: \( V = \frac{1}{3}\pi R^2 H \).
5. Подставим значения: \( V = \frac{1}{3}\pi (16 \text{ см})^2 (12 \text{ см}) \)
6. \( V = \frac{1}{3}\pi \cdot 256 \text{ см}² \cdot 12 \text{ см} \)
7. \( V = \pi \cdot 256 \text{ см}² \cdot 4 \text{ см} \)
8. \( V = 1024\pi \) см³.

Ответ: \( 1024\pi \) см³.