3. Протон движется в однородном магнитном поле по дуге окружности радиусом R = 50 см. Индукция поля B = 0,8 Тл. Определите кинетическую энергию протона.

Дано:

\( R = 50 \text{ см} = 0,5 \text{ м} \)

\( B = 0,8 \text{ Тл} \)

\( q = e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \) (заряд протона)

\( m = m_p = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \) (масса протона)

Найти:

\( E_k \) - кинетическая энергия протона.

Решение:

Когда протон движется в магнитном поле по дуге окружности, сила Лоренца является центростремительной силой. Формула силы Лоренца: \( F_L = qvB \), где \( q \) — заряд частицы, \( v \) — скорость частицы, \( B \) — индукция магнитного поля. Формула центростремительной силы: \( F_c = \frac{mv^2}{R} \), где \( m \) — масса частицы, \( v \) — скорость, \( R \) — радиус окружности.

Приравниваем силы:

\[ qvB = \frac{mv^2}{R} \]

Отсюда выражаем скорость \( v \):

\[ v = \frac{qBR}{m} \]

Подставляем значения:

\[ v = \frac{(1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (0,8 \text{ Тл}) \cdot (0,5 \text{ м})}{1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}} \approx \frac{6,4 \cdot 10^{-20}}{1,67 \cdot 10^{-27}} \approx 3,83 \cdot 10^7 \text{ м/с} \]

Теперь найдем кинетическую энергию по формуле \( E_k = \frac{mv^2}{2} \):

\[ E_k = \frac{(1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (3,83 \cdot 10^7 \text{ м/с})^2}{2} \approx \frac{1,67 \cdot 10^{-27} \cdot 14,67 \cdot 10^{14}}{2} \approx \frac{24,5 \cdot 10^{-13}}{2} \approx 12,25 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} \approx 1,225 \cdot 10^{-12} \text{ Дж} \]

Переведем в электронвольты (1 эВ = \( 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \)):

\[ E_k = \frac{1,225 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} \approx 0,766 \cdot 10^7 \text{ эВ} \approx 7,66 \text{ МэВ} \]

Ответ: \( \approx 1,225 \cdot 10^{-12} \text{ Дж} \) или \( \approx 7,66 \text{ МэВ} \).