3. Постройте график функции y = {3x-3, если x<2, -3x+8,5, если 2≤x≤3, 3,5x-11, если x>3. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Построение графика функции:

• Для x < 2: y = 3x - 3. Это луч, начинающийся в точке (2, 3) и идущий влево вверх. При x=0, y=-3.
• Для 2 ≤ x ≤ 3: y = -3x + 8.5. Это отрезок. При x=2, y = -3(2) + 8.5 = -6 + 8.5 = 2.5. При x=3, y = -3(3) + 8.5 = -9 + 8.5 = -0.5. Отрезок соединяет точки (2, 2.5) и (3, -0.5).
• Для x > 3: y = 3.5x - 11. Это луч, начинающийся в точке (3, 3.5(3) - 11) = (3, 10.5 - 11) = (3, -0.5) и идущий вправо вверх. При x=4, y = 3.5(4) - 11 = 14 - 11 = 3.

2. Определение значений m:

• Нам нужно найти такие значения m, при которых прямая y=m пересекает график ровно дважды. Анализируем ключевые точки графика.
• Ключевые точки:
• Конечная точка первого луча (x=2): y = 3(2) - 3 = 3. (Точка (2, 3))
• Начальная точка второго отрезка (x=2): y = -3(2) + 8.5 = 2.5. (Точка (2, 2.5))
• Конечная точка второго отрезка (x=3): y = -3(3) + 8.5 = -0.5. (Точка (3, -0.5))
• Начальная точка третьего луча (x=3): y = 3.5(3) - 11 = -0.5. (Точка (3, -0.5))
• Значения y в «изломах» графика: 3, 2.5, -0.5.
• Горизонтальная линия y=m будет иметь две точки пересечения, если m находится между значением y в точке (2, 2.5) и значением y в точке (3, -0.5).
• Рассмотрим интервалы:
• Если m > 3, будет одно пересечение (первый луч).
• Если m = 3, будет одно пересечение.
• Если m находится в интервале (2.5, 3), то будет два пересечения: одно с первым лучом и одно со вторым отрезком.
• Если m = 2.5, будет два пересечения: одно с первым лучом (предельное значение) и одно со вторым отрезком.
• Если m находится в интервале (-0.5, 2.5), то будет два пересечения: одно со вторым отрезком и одно с третьим лучом.
• Если m = -0.5, то будет два пересечения: одно со вторым отрезком и одно с третьим лучом.
• Если m < -0.5, будет одно пересечение (третий луч).
• Чтобы получить ровно две общие точки, m должно быть в интервале (-0.5, 2.5].

Ответ: Прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки при m ∈ (-0.5; 2.5].