2. Постройте график функции y = {4x-5, если x<1, -2,5x+5, если 1≤x≤4, x-9, если x>4. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Построение графика функции:

• Для x < 1: y = 4x - 5. Это луч, начинающийся в точке (1, -1) и идущий влево вверх. При x=0, y=-5.
• Для 1 ≤ x ≤ 4: y = -2.5x + 5. Это отрезок. При x=1, y = -2.5(1) + 5 = 2.5. При x=4, y = -2.5(4) + 5 = -10 + 5 = -5. Отрезок соединяет точки (1, 2.5) и (4, -5).
• Для x > 4: y = x - 9. Это луч, начинающийся в точке (4, -5) и идущий вправо вверх. При x=5, y = 5 - 9 = -4.

2. Определение значений m:

• Нам нужно найти такие значения m, при которых прямая y=m пересекает график ровно дважды. Рассматриваем «пики» и «провалы» графика.
• Первый луч (x < 1) идет вверх. Его конечная точка при x=1 имеет y=-1.
• Второй отрезок (1 ≤ x ≤ 4) начинается в точке (1, 2.5) и заканчивается в точке (4, -5).
• Третий луч (x > 4) начинается в точке (4, -5) и идет вверх.
• Значения y в ключевых точках:
• Начало первого луча (не включительно): приближается к (1, -1).
• Конец первого луча и начало второго: (1, 2.5).
• Конец второго отрезка и начало третьего: (4, -5).
• Горизонтальная прямая y=m будет иметь две точки пересечения, когда m находится между значением y в точке (1, 2.5) и значением y в точке (4, -5), а также когда m находится между значением y в точке (4, -5) и каким-то значением, которое будет пересекаться дважды (это может быть случай, когда прямая параллельна одному из участков, но здесь все участки — прямые с разными наклонами).
• Рассмотрим интервалы:
• Если m больше, чем значение y в точке (1, 2.5), то будет только одно пересечение.
• Если m равно 2.5, то будет только одно пересечение.
• Если m находится между -5 (включительно) и 2.5 (не включительно), то прямая y=m будет пересекать график ровно дважды (один раз на втором отрезке, и один раз на первом луче, если m>-1, или на третьем луче, если m>-5).
• Если m < -5, то будет одно пересечение (на третьем луче).
• Уточняем интервалы для двух пересечений:
• Интервал между y-координатой начала второго отрезка (2.5) и y-координатой конца второго отрезка (-5). Это означает, что m должно быть меньше 2.5 и больше -5.
• Если m = -1 (y-координата конца первого луча), то будет два пересечения: одно с первым лучом (при x=1) и одно со вторым отрезком.
• Если m = -5 (y-координата конца второго отрезка и начало третьего луча), то будет два пересечения: одно со вторым отрезком (при x=4) и одно с третьим лучом.
• Таким образом, для двух пересечений m должно быть в интервале (-5, 2.5).

Ответ: Прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки при m ∈ (-5; 2.5).