3. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 56 см². Найти площадь полной поверхности призмы.

Решение:

Основание призмы — треугольник. Пусть стороны треугольника \( a = 5 \) см, \( b = 3 \) см, а угол между ними \( \gamma = 120^{\circ} \).

Площадь полной поверхности призмы равна удвоенной площади основания плюс площадь боковой поверхности: \( S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} \).

1. Найдём площадь основания (S_осн).

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними:

\( S_{осн} = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma) \)

\( S_{осн} = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 \sin(120^{\circ}) \)

\( \sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( S_{осн} = \frac{1}{2} \times 15 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \) см².

2. Найдём высоту призмы (h).

Боковая поверхность призмы состоит из трёх прямоугольников. Площади этих прямоугольников равны произведениям сторон основания на высоту призмы.

Площади боковых граней: \( S_{1} = a \times h \), \( S_{2} = b \times h \), \( S_{3} = c \times h \), где \( c \) — третья сторона основания.

Наибольшая площадь боковой грани будет соответствовать наибольшей стороне основания. В нашем случае, если \( a = 5 \) и \( b = 3 \), то наибольшая сторона будет \( a = 5 \) (так как \( \sin(120^{\circ}) \) одинаков для всех сторон, а \( c \) может быть больше 5).

Найдем длину третьей стороны основания \( c \) по теореме косинусов:

\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) \)

\( c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \times 5 \times 3 \cos(120^{\circ}) \)

\( \cos(120^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos(60^{\circ}) = -\frac{1}{2} \)

\( c^2 = 25 + 9 - 30 \times (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49 \)

\( c = \sqrt{49} = 7 \) см.

Итак, стороны основания равны 5 см, 3 см и 7 см. Наибольшая сторона — 7 см.

Наибольшая площадь боковой грани равна \( 56 \) см². Следовательно, \( c \times h = 56 \).

\( 7 \times h = 56 \)

\( h = \frac{56}{7} = 8 \) см.

3. Найдём площадь боковой поверхности (S_бок).

\( S_{бок} = (a+b+c) \times h \)

\( S_{бок} = (5 + 3 + 7) \times 8 = 15 \times 8 = 120 \) см².

4. Найдём площадь полной поверхности (S_полн).

\( S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} \)

\( S_{полн} = 2 \times \frac{15\sqrt{3}}{4} + 120 \)

\( S_{полн} = \frac{15\sqrt{3}}{2} + 120 \) см².

Ответ: \( 120 + \frac{15\sqrt{3}}{2} \) см².