1. ABCDA1B1C1D1 – правильная призма. АВ = 6см, АА1 = 8см. Найти угол между прямыми АА1 и BC; площадь полной поверхности призмы.

Решение:

1. Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

В основании правильной призмы лежит квадрат ABCD. Ребро AA1 перпендикулярно плоскости основания ABCD. Ребро BC лежит в плоскости основания.

По определению, угол между двумя скрещивающимися прямыми равен острому или прямому углу между ними, если эти прямые провести через одну точку параллельно данным прямым. Можно провести прямую, параллельную BC, через точку A, перпендикулярную AA1. Такой прямой будет AB или AD.

Так как AA1 перпендикулярно всей плоскости основания, то AA1 перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая BC. Следовательно, угол между прямыми AA1 и BC равен \( 90^{\circ} \).

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности: \( S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} \).

Основание — квадрат со стороной \( a = 6 \) см. Площадь основания: \( S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \) см².

Боковая поверхность состоит из четырёх равных прямоугольников со сторонами \( 6 \) см (сторона основания) и \( 8 \) см (высота призмы). Площадь одного бокового прямоугольника: \( S_{бок. гран. } = 6 \times 8 = 48 \) см².

Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = 4 \times S_{бок. гран. } = 4 \times 48 = 192 \) см².

Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = 2 \times 36 + 192 = 72 + 192 = 264 \) см².

Ответ: угол между прямыми AA1 и BC равен 90°; площадь полной поверхности призмы равна 264 см².