3. Основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник со сторонами 9 см и 12 см. Диагональ параллелепипеда составляет с диагональю основания угол 45°. Найдите объём параллелепипеда.

Дано:

• Основание: прямоугольник со сторонами a = 9 см и b = 12 см.
• Угол между диагональю параллелепипеда и диагональю основания: 45°.

Найти: Объём параллелепипеда (V).

Решение:

1. Вычислим диагональ основания (d_осн): По теореме Пифагора для прямоугольника в основании:
   • \[ d_{осн} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см} \]
2. Найдем высоту параллелепипеда (h): В прямоугольном треугольнике, образованном высотой параллелепипеда, диагональю основания и диагональю параллелепипеда, угол между диагональю основания и диагональю параллелепипеда равен 45°. Это означает, что этот треугольник — равнобедренный прямоугольный, где катеты равны. Следовательно, высота параллелепипеда равна диагонали основания.
   • \[ h = d_{осн} = 15 \text{ см} \]
3. Вычислим объём параллелепипеда (V): Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Площадь основания (S_осн) равна произведению сторон прямоугольника.
   • \[ S_{осн} = a \times b = 9 \text{ см} \times 12 \text{ см} = 108 \text{ см}^2 \]
   • \[ V = S_{осн} \times h = 108 \text{ см}^2 \times 15 \text{ см} = 1620 \text{ см}^3 \]

Ответ: 1620 см³