3) Основание прямого параллелепипеда - ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

1. Найдем сторону ромба: $$a = \sqrt{(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2} = \sqrt{(10/2)^2 + (24/2)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ см.

2. В прямоугольном треугольнике, образованном меньшей диагональю параллелепипеда, ее проекцией на основание (которая равна меньшей диагонали основания) и боковым ребром, угол при основании равен 45°. Это означает, что высота параллелепипеда равна меньшей диагонали основания: $$h = d_1 = 10$$ см.

3. Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности: $$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$$.

Площадь основания: $$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$$ см².

Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = P \cdot h = (4a) \cdot h = (4 \cdot 13) \cdot 10 = 52 \cdot 10 = 520$$ см².

Площадь полной поверхности: $$S_{полн} = 2 \cdot 120 + 520 = 240 + 520 = 760$$ см².