2) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

а) 1. Пусть $$l$$ - боковое ребро, $$h$$ - высота, $$d$$ - диагональ основания. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половиной диагонали и боковым ребром, имеем: $$h = l \sin(45°) = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$ см.
б) 1. Найдем половину диагонали основания: $$\frac{d}{2} = l \cos(45°) = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$ см. Диагональ основания $$d = 4\sqrt{2}$$ см.
2. Сторона основания $$a$$ равна: $$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4$$ см.
3. Апофема пирамиды $$h_a = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (4/2)^2} = \sqrt{8 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$ см.
4. Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_a = \frac{1}{2} (4 \times 4) \times 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$$ см².