3. Определите вид треугольника АВС, если А (1;7), B (-2;4), C (2;0).

Решение:

Чтобы определить вид треугольника, найдём длины всех его сторон, используя формулу расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).

1. Найдем длину стороны AB:

\( AB = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \)

2. Найдем длину стороны BC:

\( BC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(2 + 2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4^2 + 16} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \)

3. Найдем длину стороны AC:

\( AC = \sqrt{(2 - 1)^2 + (0 - 7)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} \)

Теперь сравним квадраты длин сторон, чтобы определить тип треугольника по углам:

\( AB^2 = 18 \)

\( BC^2 = 32 \)

\( AC^2 = 50 \)

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

\( AB^2 + BC^2 = 18 + 32 = 50 \)

Мы видим, что \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \).

Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным, так как сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны (AC является гипотенузой).

Ответ: Треугольник ABC — прямоугольный.