3. Найти производную функции у = 4x³ - 0.5x²+ 1/x в точке х=2

Привет! Давай найдем производную этой функции.

Дано:

Функция: $$y = 4x^3 - 0.5x^2 + \frac{1}{x}$$

Точка: $$x = 2$$

Найти:

$$y'(2)$$

Решение:

1. Находим производную функции:

   Вспомним правила дифференцирования:

   • Производная от $$cx^n$$ равна $$cn × x^{n-1}$$
   • Производная от $$\frac{1}{x}$$ (или $$x^{-1}$$) равна $$-x^{-2}$$ (или $$-\frac{1}{x^2}$$)

   Дифференцируем каждый член функции:

   • Производная от $$4x^3$$ это $$4 × 3 × x^{3-1} = 12x^2$$.
   • Производная от $$-0.5x^2$$ это $$-0.5 × 2 × x^{2-1} = -1x^1 = -x$$.
   • Производная от $$\frac{1}{x}$$ (или $$x^{-1}$$) это $$-1 × x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$.

   Итак, производная функции $$y'$$ равна:

   $$y' = 12x^2 - x - \frac{1}{x^2}$$

2. Подставляем значение x = 2 в производную:

   $$y'(2) = 12(2)^2 - 2 - \frac{1}{(2)^2}$$

   $$y'(2) = 12(4) - 2 - \frac{1}{4}$$

   $$y'(2) = 48 - 2 - 0.25$$

   $$y'(2) = 46 - 0.25$$

   $$y'(2) = 45.75$$

Ответ:

Производная функции в точке $$x=2$$ равна 45.75.