2. Функции y=tg (x) и y=ctg (x), их свойства и графики.

Привет! Давай познакомимся с функциями тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Функция y = tg(x) (тангенс)

Что это?

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. В тригонометрии это отношение синуса к косинусу: $$y = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$

Основные свойства:

• Область определения: Все действительные числа, кроме $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$$, где $$k$$ — любое целое число. Это связано с тем, что $$\cos(x)$$ не должен быть равен нулю.
• Область значений: Все действительные числа $$(-\infty; +\infty)$$.
• Периодичность: Функция периодическая с наименьшим периодом $$\pi$$. Это значит, что $$tg(x + \pi) = tg(x)$$.
• Монотонность: На каждом интервале определения функция возрастает.
• Нули функции: $$tg(x) = 0$$ при $$x = \pi k$$, где $$k$$ — любое целое число.
• Нечетность: Функция нечетная, то есть $$tg(-x) = -tg(x)$$. График симметричен относительно начала координат.

График:

График тангенса имеет вертикальные асимптоты в точках $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$$. Он выглядит как серия волн, проходящих через начало координат и пересекающих ось X в точках $$0, \pm \pi, \pm 2\pi$$ и так далее.

Функция y = ctg(x) (котангенс)

Что это?

Котангенс угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему. В тригонометрии это отношение косинуса к синусу: $$y = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$$

Основные свойства:

• Область определения: Все действительные числа, кроме $$x = \pi k$$, где $$k$$ — любое целое число. Это связано с тем, что $$\sin(x)$$ не должен быть равен нулю.
• Область значений: Все действительные числа $$(-\infty; +\infty)$$.
• Периодичность: Функция периодическая с наименьшим периодом $$\pi$$. Это значит, что $$ctg(x + \pi) = ctg(x)$$.
• Монотонность: На каждом интервале определения функция убывает.
• Нули функции: $$ctg(x) = 0$$ при $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$$, где $$k$$ — любое целое число.
• Нечетность: Функция нечетная, то есть $$ctg(-x) = -ctg(x)$$. График симметричен относительно начала координат.

График:

График котангенса имеет вертикальные асимптоты в точках $$x = \pi k$$. Он выглядит как серия волн, проходящих через точки $$x = \frac{\pi}{2}$$ и пересекающих ось Y в начале координат (только при $$x=0$$ это асимптота). По форме напоминает график тангенса, но повернут на 90 градусов.

Надеюсь, теперь эти функции стали понятнее!