3. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями \(\frac{2}{15}\) см; \(\frac{3}{5}\) см; \(1\frac{1}{3}\) см.

Дано:

• Прямоугольный параллелепипед
• Измерения:
• Длина (a) = \(\frac{2}{15}\) см
• Ширина (b) = \(\frac{3}{5}\) см
• Высота (c) = \(1\frac{1}{3}\) см

Найти:

• Площадь поверхности параллелепипеда (S_пов.)

Решение:

1. Переведем смешанное число в неправильную дробь:
   \(c = 1\frac{1}{3} = \frac{1 \times 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}\) см.
2. Вспомним формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:
   Площадь поверхности равна удвоенной сумме площадей трех его граней с разными измерениями.
   \[ S_{пов.} = 2(ab + bc + ac) \]
3. Подставим значения измерений в формулу:
   \[ S_{пов.} = 2\left(\left(\frac{2}{15} \times \frac{3}{5}\right) + \left(\frac{3}{5} \times \frac{4}{3}\right) + \left(\frac{2}{15} \times \frac{4}{3}\right)\right) \]
4. Вычислим площади граней:
   
   • \(ab = \frac{2}{15} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{75} = \frac{2}{25}\) см²
   • \(bc = \frac{3}{5} \times \frac{4}{3} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}\) см²
   • \(ac = \frac{2}{15} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{45}\) см²
5. Найдем сумму площадей граней:
   Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 25, 5 и 45 — это 225.
   
   • \(\frac{2}{25} = \frac{2 imes 9}{25 imes 9} = \frac{18}{225}\)
   • \(\frac{4}{5} = \frac{4 imes 45}{5 imes 45} = \frac{180}{225}\)
   • \(\frac{8}{45} = \frac{8 imes 5}{45 imes 5} = \frac{40}{225}\)

   Сумма = \(\frac{18}{225} + \frac{180}{225} + \frac{40}{225} = \frac{18 + 180 + 40}{225} = \frac{238}{225}\) см²

6. Умножим сумму на 2, чтобы найти площадь всей поверхности:
   \[ S_{пов.} = 2 \times \frac{238}{225} = \frac{476}{225} \] см²
7. Переведем в смешанное число:
   \[ \frac{476}{225} = 2 \frac{26}{225} \] см²

Ответ: Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна \(2\frac{26}{225}\) см².