3. Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 2, а острый угол равен 60.

Решение:

Пусть сторона ромба равна \( a = 2 \) и острый угол равен \( \alpha = 60^{\circ} \).

В ромбе все стороны равны. Диагонали ромба делят его углы пополам и перпендикулярны друг другу.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и одной из диагоналей. Если взять острый угол \( 60^{\circ} \), то диагональ, противолежащая этому углу, соединяет вершины тупых углов. Другая диагональ соединяет вершины острых углов.

Способ 1: Через теорему косинусов.

Диагональ \( d_1 \), противолежащая острому углу \( 60^{\circ} \), можно найти из треугольника со сторонами \( a=2 \), \( a=2 \) и углом между ними \( 60^{\circ} \).

\[ d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(60^{\circ}) \]

\[ d_1^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \]

\[ d_1^2 = 4 + 4 - 4 = 4 \]

\[ d_1 = \sqrt{4} = 2 \) см.

Примечание: Треугольник, образованный двумя сторонами и диагональю, являющейся противолежащей к углу 60°, является равнобедренным с углом при вершине 60°, следовательно, это равносторонний треугольник. Значит, диагональ равна стороне ромба.

Диагональ \( d_2 \), соединяющая вершины острых углов, является большей диагональю. Её можно найти, зная, что тупые углы ромба равны \( 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

\[ d_2^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(120^{\circ}) \]

\[ d_2^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2}) \]

\[ d_2^2 = 4 + 4 + 4 = 12 \]

\[ d_2 = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) см.

Способ 2: Через свойства ромба.

Диагонали ромба делят его углы пополам. Острый угол \( 60^{\circ} \) делится пополам на два угла по \( 30^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Сторона \( a = 2 \) — гипотенуза.

Одна из половин диагонали (пусть \( \frac{d_1}{2} \)) лежит против угла \( 30^{\circ} \).

\[ \sin(30^{\circ}) = \frac{\frac{d_1}{2}}{a} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{\frac{d_1}{2}}{2} \]

\[ \frac{d_1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \]

\[ d_1 = 2 \) см.

Другая половина диагонали (пусть \( \frac{d_2}{2} \)) лежит против угла \( 120^{\circ}/2 = 60^{\circ} \).

\[ \sin(60^{\circ}) = \frac{\frac{d_2}{2}}{a} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{d_2}{2}}{2} \]

\[ \frac{d_2}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \]

\[ d_2 = 2\(\sqrt{3}\) \) см.

Меньшая диагональ ромба равна \( 2 \) см.

Ответ: 2.