3. Найдите косинус угла между векторами \( \vec{m} = 2\vec{a} - 3\vec{b} \), \( \vec{n} = \vec{a} + 2\vec{b} \), если \( |\vec{a}| = 2 \), \( |\vec{b}| = \sqrt{3} \) и угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен 30°.

Решение:

Формула для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{m} × \vec{n}}{|\vec{m}| |\vec{n}|} \]\[ \vec{m} × \vec{n} = (2\vec{a} - 3\vec{b}) × (\vec{a} + 2\vec{b}) \]\[ = 2\vec{a} × \vec{a} + 4\vec{a} × \vec{b} - 3\vec{b} × \vec{a} - 6\vec{b} × \vec{b} \]\[ = 2|\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} × \vec{b}) - 3(\vec{a} × \vec{b}) - 6|\vec{b}|^2 \]\[ = 2|\vec{a}|^2 + (4-3)(\vec{a} × \vec{b}) - 6|\vec{b}|^2 \]\[ = 2|\vec{a}|^2 + (\vec{a} × \vec{b}) - 6|\vec{b}|^2 \]

Вычислим скалярное произведение \( \vec{a} × \vec{b} \):

\[ \vec{a} × \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| × \cos(30^°) = 2 × \sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \]\[ |\vec{a}|^2 = 2^2 = 4 \]\[ |\vec{b}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3 \]\[ \vec{m} × \vec{n} = 2(4) + 3 - 6(3) = 8 + 3 - 18 = 11 - 18 = -7 \]

Теперь найдем длины векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \):

\[ |\vec{m}|^2 = |2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = (2\vec{a} - 3\vec{b}) × (2\vec{a} - 3\vec{b}) \]\[ = 4|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} × \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2 \]\[ = 4(4) - 12(3) + 9(3) = 16 - 36 + 27 = 43 - 36 = 7 \]\[ |\vec{m}| = \sqrt{7} \]

\[ |\vec{n}|^2 = |\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) × (\vec{a} + 2\vec{b}) \]\[ = |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} × \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 \]\[ = 4 + 4(3) + 4(3) = 4 + 12 + 12 = 28 \]\[ |\vec{n}| = \sqrt{28} = \sqrt{4 × 7} = 2\sqrt{7} \]

Наконец, найдем косинус угла между векторами \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \):

\[ \cos(\theta) = \frac{-7}{\sqrt{7} × 2\sqrt{7}} = \frac{-7}{2 × 7} = \frac{-7}{14} = -\frac{1}{2} \]\[ \cos(\theta) = -0.5 \]

Ответ: косинус угла между векторами равен -0.5.