1. В равнобедренный треугольник с основанием 10 см и боковой стороной 5√2 см вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а другие две вершины - на боковых сторонах. Найдите сторону квадрата.

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC (AB = BC).
• Основание AC = 10 см.
• Боковая сторона AB = BC = 5√2 см.
• Вписанный квадрат DEFK, где D, E лежат на AC, а F, K - на BC, AB соответственно.

Найти:

• Сторону квадрата (например, DE).

Решение:

1. Найдем высоту треугольника:
   Проведем высоту BH к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому AH = HC = AC/2 = 10/2 = 5 см.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:
\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]
\[ (5\sqrt{2})^2 = 5^2 + BH^2 \]
\[ 50 = 25 + BH^2 \]
\[ BH^2 = 50 - 25 = 25 \]
\[ BH = \sqrt{25} = 5 \text{ см.} \]
3. Рассмотрим подобные треугольники:
   Пусть сторона квадрата равна x (DE = EF = FK = KD = x).
   Высота квадрата, проведенная из вершины K к основанию AC, равна x.
4. Отрезок, отсекаемый верхней стороной квадрата (FK) от треугольника ABC, образует меньший треугольник FBK, который подобен треугольнику ABC (по двум углам: угол B общий, угол BKF = угол BAC, так как FK || AC).
5. Высота треугольника FBK, проведенная из вершины K к основанию FK, равна BH - x = 5 - x.
6. По свойству подобных треугольников (отношение высот равно отношению оснований):
\[ \frac{\text{Высота FBK}}{\text{Высота ABC}} = \frac{\text{Основание FK}}{\text{Основание AC}} \]
\[ \frac{5 - x}{5} = \frac{x}{10} \]
7. Решим уравнение:
\[ 10(5 - x) = 5x \]
\[ 50 - 10x = 5x \]
\[ 50 = 15x \]
\[ x = \frac{50}{15} = \frac{10}{3} \text{ см.} \]

Ответ: Сторона квадрата равна 10/3 см.