3. Найдите ∠KOM, если известно, что градусная мера дуги MN равна 124°, а градусная мера дуги KN равна 180°. Точка О — центр окружности.

Решение:

Угол \( < KOM \) является центральным углом. Он опирается на дугу \( KM \).

Градусная мера всей окружности равна 360°.

Дуга \( KN \) равна 180°, значит, \( KN \) — диаметр.

Дуга \( MN \) равна 124°.

Дуга \( KM \) может быть найдена как разность между полной окружностью и суммой дуг \( MN \) и \( KN \) (если \( K, M \) находятся по одну сторону от диаметра \( KN \)) или как сумма дуг \( KN \) и \( NM \) (что нелогично, если \( K, M, N \) — точки на окружности).

Рассмотрим случай, когда точка M находится между K и N на одной из полуокружностей, образованных диаметром KN. Тогда дуга KN = 180°.

Если дуга KN = 180°, то дуга KM + дуга MN = 180° (если M лежит между K и N на одной полуокружности).

Однако, условие задачи даёт дугу MN = 124°. Если KN — диаметр, то дуга KN = 180°.

Если K, M, N — точки на окружности, и KN — диаметр, то дуга KN = 180°.

Дуга MN = 124°.

Нам нужно найти \( < KOM \), который опирается на дугу KM.

Градусная мера дуги KM = 360° - (дуга KN + дуга MN) - это если считать от K против часовой стрелки, потом N, потом M.

Правильнее: Дуга KM = 360° - дуга KMN. Дуга KMN = дуга KN + дуга NM. Но KN — диаметр.

Если KN — диаметр, то дуга KN = 180°. Точка M находится на окружности. Мы имеем дугу MN = 124°.

Если точки K, M, N расположены последовательно по окружности, то дуга KN = дуга KM + дуга MN. В этом случае 180° = дуга KM + 124°, тогда дуга KM = 180° - 124° = 56°.

Угол KOM — центральный, значит, \( < KOM = \text{arc } KM \).

\( < KOM = 56^{\circ} \).

Ответ: 56°.