№3. Найдите АВ, ∠BCM, ∠AMC

Последняя задачка — третья!

1. Находим AB:
   • У нас есть прямоугольный треугольник ABC (угол C = 90°).
   • На боковой стороне BC отмечена точка M, и на стороне AB отмечена точка M.
   • На стороне BC и AB стоят одинаковые штрихи, это значит, что BM = AM.
   • Следовательно, треугольник ABM — равнобедренный.
   • Угол A = 50°, значит, угол ABC = 180° - 90° - 50° = 40°.
   • В прямоугольном треугольнике ABC, sin(A) = BC/AB.
   • sin(50°) = BC/AB.
   • AB = BC / sin(50°).
   • Нам дано, что CM = 6 см.
   • Но информация о CM не дает нам прямого решения для AB, нужно найти BC.
   • В треугольнике ABC, cos(50°) = AC/AB.
   • В треугольнике BCM, cos(∠CBM) = BC/BM.
   • В треугольнике AMC, cos(∠CAM) = AC/AM.
   • В задаче не указана длина AC или BC.
   • Повторная проверка данных: Указано CM = 6 см. Указано, что M — середина AB.
   • В прямоугольном треугольнике ABC, если M — середина гипотенузы AB, то CM = AM = BM.
   • Значит, AM = BM = CM = 6 см.
   • Тогда AB = AM + BM = 6 + 6 = 12 см.
2. Находим ∠BCM:
   • В прямоугольном треугольнике ABC, угол ABC = 40°.
   • В треугольнике BCM, BM = CM = 6 см.
   • Значит, треугольник BCM — равнобедренный.
   • Угол ∠CBM = угол ∠BCM = 40°.
3. Находим ∠AMC:
   • ∠AMC — внешний угол треугольника BCM.
   • Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
   • ∠AMC = ∠C + ∠CBM = 90° + 40° = 130°.
   • (Другой способ: В треугольнике BCM, ∠BMC = 180° - 40° - 40° = 100°. ∠AMC и ∠BMC — смежные углы, их сумма 180°. ∠AMC = 180° - 100° = 80°. Здесь противоречие. Проверим условие. На картинке M стоит на стороне AB. Значит, M - точка на гипотенузе, а не середина.)
   • Пересмотр условия: Штрихи на BM и AM означают, что BM = AM. Значит, M - середина гипотенузы AB.
   • Если M — середина гипотенузы, то медиана CM равна половине гипотенузы: CM = AM = BM.
   • Нам дано CM = 6 см.
   • Следовательно, AM = BM = 6 см.
   • AB = AM + BM = 6 + 6 = 12 см.
   • В прямоугольном треугольнике ABC, угол A = 50°. Угол ABC = 40°.
   • В треугольнике BCM: BM = CM = 6 см. Это значит, что треугольник BCM равнобедренный.
   • Углы при основании BM и CM равны. То есть ∠CBM = ∠BCM = 40°.
   • Находим ∠AMC:
     • ∠AMC — смежный с ∠BMC.
     • В треугольнике BCM, ∠BMC = 180° - (∠CBM + ∠BCM) = 180° - (40° + 40°) = 180° - 80° = 100°.
     • ∠AMC = 180° - ∠BMC = 180° - 100° = 80°.
     • (Другой способ: ∠AMC — внешний угол треугольника BCM. ∠AMC = ∠C + ∠CBM = 90° + 40° = 130°. Опять противоречие. Почему? Потому что M - середина гипотенузы, а CM - медиана. Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Так что AM=BM=CM=6. Тогда AB=12. Угол A=50, угол B=40. В треугольнике BCM: BM=6, CM=6, угол CBM=40. Значит, угол BCM = 40, а угол BMC = 100. Угол AMC = 180-100 = 80. Все верно.)

Ответ: AB = 12 см, ∠BCM = 40°, ∠AMC = 80°.