№3. Найдите AB, ∠BCM, ∠AMC

Задачи №3:

В этом треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 50°. CM — медиана, проведенная к гипотенузе AB. Длина медианы CM = 6 см.

1. Находим AB:

В прямоугольном треугольнике свойство медианы, проведенной к гипотенузе, заключается в том, что она равна половине гипотенузы. То есть, CM = AM = BM.

Так как CM = 6 см, то AM = 6 см и BM = 6 см.

Гипотенуза AB = AM + BM = 6 см + 6 см = 12 см.

2. Находим ∠BCM:

В треугольнике CMB, CM = BM = 6 см, значит, треугольник CMB — равнобедренный.

Угол B в треугольнике ABC равен: ∠B = 180° - 90° - 50° = 40°.

Так как треугольник CMB равнобедренный, то углы при основании равны: ∠BCM = ∠B = 40°.

3. Находим ∠AMC:

Угол AMC является развернутым углом, но здесь он является углом треугольника AMC. Он смежный с углом CMB.

В треугольнике AMC, AM = CM = 6 см, значит, треугольник AMC — равнобедренный.

Угол B = 40°, а значит, угол при вершине M в треугольнике CMB равен 180° - 40° - 40° = 100°.

Углы AMC и CMB — смежные, их сумма равна 180°.

∠AMC = 180° - ∠CMB

∠AMC = 180° - 100° = 80°.

Ответ: AB = 12 см, ∠BCM = 40°, ∠AMC = 80°.