3. Найди координаты вершин квадрата. В(2; 2), Д(-2; -2). А-?, С-?

Решение:

Дано: квадрат ABCD. Координаты двух вершин: B(2; 2) и Д(-2; -2).

Анализ:

• Вершины B и Д являются противоположными, так как их координаты имеют противоположные знаки и одинаковые абсолютные значения, что указывает на расположение на диагонали, проходящей через начало координат.
• Центр квадрата находится в середине диагонали BD. Найдем его координаты (O):
• x_O = (2 + (-2)) / 2 = 0
• y_O = (2 + (-2)) / 2 = 0
• Таким образом, центр квадрата находится в начале координат O(0; 0).
• Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
• Вершины A и C также являются противоположными. Серединой диагонали AC является точка O(0; 0).
• Вектор OB = (2-0, 2-0) = (2, 2).
• Вектор OD = (-2-0, -2-0) = (-2, -2).
• Вектор OA должен быть перпендикулярен вектору OB и иметь такую же длину. Чтобы получить перпендикулярный вектор, меняем координаты местами и меняем знак у одной из них.
• Возможные координаты для OA: (-2, 2) или (2, -2).
• Если OA = (-2, 2), то A(-2; 2).
• Тогда OC будет равен -OA, то есть OC = (2, -2). Следовательно, C(2; -2).
• Проверим, что AC является диагональю: A(-2; 2) и C(2; -2). Середина AC: ((-2+2)/2, (2-2)/2) = (0, 0).
• Проверим перпендикулярность диагоналей. Вектор AC = (2 - (-2), -2 - 2) = (4, -4). Вектор BD = (-2 - 2, -2 - 2) = (-4, -4). Скалярное произведение AC · BD = (4)(-4) + (-4)(-4) = -16 + 16 = 0. Диагонали перпендикулярны.

Альтернативный вариант:

• Если OA = (2, -2), то A(2; -2).
• Тогда OC будет равен -OA, то есть OC = (-2, 2). Следовательно, C(-2; 2).
• Проверим, что AC является диагональю: A(2; -2) и C(-2; 2). Середина AC: ((2+(-2))/2, (-2+2)/2) = (0, 0).

Оба варианта возможны, так как квадрат может быть повернут. Однако, по условию задачи, обычно вершины нумеруются последовательно по часовой или против часовой стрелки.

Рассмотрим случай, когда вершины идут по порядку: A, B, C, D.

Если B(2; 2) и D(-2; -2) — противоположные вершины, то A и C также противоположные.

Вектор BA = (x_A - 2, y_A - 2).

Вектор BC = (x_C - 2, y_C - 2).

Вектор BA перпендикулярен вектору BC. Скалярное произведение BA · BC = 0.

Также, длина BA = длина BC.

Проще всего использовать тот факт, что центр квадрата O(0, 0) является серединой диагоналей AC и BD.

Из B(2; 2) и O(0; 0) следует, что вектор OB = (2, 2).

Из D(-2; -2) и O(0; 0) следует, что вектор OD = (-2, -2).

Для нахождения координат A и C, мы можем использовать поворот вектора OB на 90 градусов против часовой стрелки (или по часовой стрелке) для получения вектора OA (или OC), а затем найти координаты точки A (или C) относительно O.

Поворот вектора (x, y) на 90 градусов против часовой стрелки дает вектор (-y, x).

Вектор OB = (2, 2). Повернем его на 90 градусов против часовой стрелки: вектор OA = (-2, 2). Тогда координаты точки A будут (-2; 2).

Вектор OC будет противоположен вектору OA, т.е. OC = (2, -2). Тогда координаты точки C будут (2; -2).

Проверим, что A(-2; 2) и C(2; -2) являются вершинами квадрата с B(2; 2) и D(-2; -2).

• AB = sqrt((2 - (-2))^2 + (2 - 2)^2) = sqrt(4^2 + 0^2) = 4.
• BC = sqrt((2 - 2)^2 + (2 - (-2))^2) = sqrt(0^2 + 4^2) = 4.
• CD = sqrt((-2 - 2)^2 + (-2 - (-2))^2) = sqrt((-4)^2 + 0^2) = 4.
• DA = sqrt((-2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2) = sqrt(0^2 + (-4)^2) = 4.

Все стороны равны 4. Проверим диагонали:

• AC = sqrt((2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2) = sqrt(4^2 + (-4)^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4 * sqrt(2).
• BD = sqrt((-2 - 2)^2 + (-2 - 2)^2) = sqrt((-4)^2 + (-4)^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4 * sqrt(2).

Диагонали равны.

Если повернуть вектор OB на 90 градусов по часовой стрелке, то получим вектор OA = (2, -2). Тогда A(2; -2).

И вектор OC = (-2, 2). Тогда C(-2; 2).

Этот вариант также возможен, но обычно вершины обозначаются в последовательном порядке.

Учитывая, что B(2;2) и D(-2;-2) - противоположные вершины, то A и C должны быть так, чтобы AB=BC=CD=DA и диагонали были перпендикулярны.

Наиболее стандартное решение, когда вершины идут по порядку A, B, C, D:

• A(-2; 2)
• C(2; -2)

Или, если порядок вершин A, D, C, B:

• A(2; -2)
• C(-2; 2)

В большинстве учебников, если не указано иное, предполагается последовательное обозначение вершин. Поэтому, если B и D - противоположные, то A и C - другие противоположные.

Наиболее вероятный ответ: A(-2; 2), C(2; -2)