Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика3. Найди координаты вершин квадрата. В(2; 2), Д(-2; -2). A-?, C-?
Ответ:
Решение:
Даны координаты двух вершин квадрата: B(2; 2) и Д(-2; -2). Заметим, что эти вершины расположены на диагонали, так как их координаты имеют противоположные знаки и одинаковые по модулю значения. Центр квадрата находится в начале координат (0; 0), так как середина отрезка BD имеет координаты ( (2 + (-2))/2 ; (2 + (-2))/2 ) = (0; 0).
Вершины квадрата расположены симметрично относительно начала координат.
Пусть вершины квадрата будут A(xA, yA), B(2; 2), C(xC, yC), D(-2; -2).
Другая диагональ квадрата (AC) будет проходить через начало координат и будет перпендикулярна диагонали BD.
Уравнение прямой BD: y = x (так как точки (2,2) и (-2,-2) удовлетворяют этому уравнению).
Прямая AC будет иметь вид y = -x (перпендикулярна y=x и проходит через (0,0)).
Так как ABCD — квадрат, то расстояние от центра (0,0) до всех вершин одинаково. Расстояние от (0,0) до B(2;2) равно $$\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$$.
Значит, расстояние от (0,0) до A и C также равно $$\sqrt{8}$$.
Точки A и C лежат на прямой y = -x.
Найдем координаты точки A: xA2 + yA2 = 8. Так как yA = -xA, то xA2 + (-xA)2 = 8 => 2xA2 = 8 => xA2 = 4 => xA = ±2.
Если xA = 2, то yA = -2. Получаем точку (2; -2).
Если xA = -2, то yA = 2. Получаем точку (-2; 2).
Аналогично для точки C.
Обычно вершины обозначаются в порядке обхода (по часовой или против часовой стрелки). Если B(2;2) и D(-2;-2), то A и C будут располагаться так, чтобы образовать квадрат.
Пусть A будет (-2; 2) и C будет (2; -2).
Проверим: AB = $$\sqrt{(2 - (-2))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$$.
BC = $$\sqrt{(2 - 2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4$$.
CD = $$\sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$$.
DA = $$\sqrt{(-2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = 4$$.
Все стороны равны 4.
Диагонали:
BD = $$\sqrt{(2 - (-2))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$.
AC = $$\sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$.
Диагонали равны.
Ответ: A(-2; 2), C(2; -2)
Похожие
