3. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, B, C, D, E, G, H, F. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город D?

Решение:

Для решения этой задачи будем использовать метод подсчета путей, двигаясь от начального города А к конечному городу D.

• Из А:
  • В B: 1 путь
  • В E: 1 путь
• Из B:
  • В C: 1 путь
  • В E: 1 путь
• Из C:
  • В D: 1 путь
• Из E:
  • В D: 1 путь
  • В F: 1 путь
  • В G: 1 путь
• Из F:
  • В D: 1 путь
• Из G:
  • В H: 1 путь
• Из H:
  • В D: 1 путь

Теперь суммируем количество путей, ведущих к D, учитывая все возможные маршруты из А:

• Пути через B: A → B → C → D (1 путь)
• Пути через E:
  • A → E → D (1 путь)
  • A → B → E → D (1 путь)
• Пути через F:
  • A → E → F → D (1 путь)
  • A → B → E → F → D (1 путь)
• Пути через G и H:
  • A → E → G → H → D (1 путь)
  • A → B → E → G → H → D (1 путь)

Подсчитаем общее количество путей:

• Из А в D напрямую нет дороги.
• A → B → C → D: 1 путь
• A → B → E → D: 1 путь
• A → E → D: 1 путь
• A → B → E → F → D: 1 путь
• A → E → F → D: 1 путь
• A → B → E → G → H → D: 1 путь
• A → E → G → H → D: 1 путь

Суммируем все уникальные пути:

• Пути, заканчивающиеся в D, следуя по стрелкам:
  • A→B→C→D
  • A→B→E→D
  • A→E→D
  • A→B→E→F→D
  • A→E→F→D
  • A→B→E→G→H→D
  • A→E→G→H→D

Количество путей:

• A→B→C→D: 1
• A→B→E→D: 1
• A→E→D: 1
• A→B→E→F→D: 1
• A→E→F→D: 1
• A→B→E→G→H→D: 1
• A→E→G→H→D: 1

Всего 7 различных путей из города А в город D.

Альтернативный подсчет (путем присвоения значений узлам):

• A: 1
• B: 1 (от А)
• E: 1 (от А)
• C: 1 (от B)
• D: 1 (от C) + 1 (от E) + 1 (от F) + 1 (от H)
• F: 1 (от E)
• G: 1 (от E)
• H: 1 (от G)

Пересчитаем, двигаясь по графу:

• A = 1
• B = A = 1
• E = A = 1
• C = B = 1
• F = E = 1
• G = E = 1
• H = G = 1
• D = C + E + F + H = 1 + 1 + 1 + 1 = 4.

Это неверный подсчет, так как пути могут пересекаться.

Правильный подсчет путем подсчета путей к каждому узлу:

• A: 1 (начало)
• B: 1 (от A)
• E: 1 (от A)
• C: 1 (от B)
• F: 1 (от E)
• G: 1 (от E)
• H: 1 (от G)
• D: Пути, ведущие в D:
  • Из C: 1 путь (A→B→C)
  • Из E: 1 путь (A→E)
  • Из F: 1 путь (A→E→F)
  • Из H: 1 путь (A→E→G→H)

Теперь нужно просуммировать количество путей, ведущих к D, учитывая все предыдущие шаги.

Количество путей из A в D:

• A→B→C→D: 1
• A→B→E→D: 1
• A→E→D: 1
• A→B→E→F→D: 1
• A→E→F→D: 1
• A→E→G→H→D: 1
• A→B→E→G→H→D: 1

Общее количество путей = 7.