3. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 75 и ВС = 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С (рис.2). Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Пошаговое решение:

1. Окружность имеет центр в точке А и проходит через точку С. Следовательно, радиус окружности (r) равен длине отрезка АС.
2. r = АС = 75.
3. Отрезок ВС является касательной к окружности, проведенной из точки В.
4. Радиус АС перпендикулярен касательной ВС в точке касания С. Таким образом, треугольник АСВ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине С.
5. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АСВ: AB² = AC² + BC².
6. Длина отрезка АВ равна АС + ВС = 75 + 10 = 85.
7. 85² = 75² + BC².
8. 7225 = 5625 + BC².
9. BC² = 7225 - 5625.
10. BC² = 1600.
11. BC = √1600 = 40.

Ответ: 40