3. На окружности радиуса 3 отмечена точка С. Отрезок АВ — диаметр окружности, АС = 3√3. Найдите ВС.

Решение:

Дано: окружность с центром O, радиус \( r = 3 \). AB — диаметр, \( AC = 3\sqrt{3} \). Найти \( BC \).

Так как AB — диаметр, то угол \( \angle ACB \) опирается на диаметр и является прямым, т.е. \( \angle ACB = 90^{\circ} \). Следовательно, треугольник \( \triangle ABC \) — прямоугольный.

Диаметр \( AB = 2r = 2 \cdot 3 = 6 \).

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику \( \triangle ABC \):

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

Подставим известные значения:

\[ (3\sqrt{3})^2 + BC^2 = 6^2 \]

\[ (9 · 3) + BC^2 = 36 \]

\[ 27 + BC^2 = 36 \]

\[ BC^2 = 36 - 27 \]

\[ BC^2 = 9 \]

\[ BC = \sqrt{9} = 3 \]

Ответ: 3