3. Многогранники и тела вращения

1. Призма

Прямая призма — это призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям.

Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Дано:

• Правильная четырехугольная призма.


• Площадь основания \( S_{осн} = 144 \text{ см}^2 \)


• Высота \( h = 14 \text{ см} \)

Найти: Диагональ призмы \( d \)

Решение:

1. Так как основание — правильный четырехугольник (квадрат), найдем сторону основания \( a \):

\( a = \sqrt{S_{осн}} = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \)

2. Диагональ основания \( d_{осн} \) найдем по теореме Пифагора:

\( d_{осн} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \text{ см} \)

3. Диагональ призмы \( d \) найдем по теореме Пифагора, используя диагональ основания и высоту:

\( d = \sqrt{d_{осн}^2 + h^2} = \sqrt{(12\sqrt{2})^2 + 14^2} = \sqrt{288 + 196} = \sqrt{484} = 22 \text{ см} \)

Ответ: Диагональ призмы равна 22 см.

2. Параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.

Линейные размеры прямоугольного параллелепипеда — это его длина, ширина и высота.

Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.

Дано:

• Параллелепипед.


• Площади трех граней: \( S_1 = 1 \text{ м}^2 \), \( S_2 = 2 \text{ м}^2 \), \( S_3 = 3 \text{ м}^2 \)

Найти: Полную поверхность параллелепипеда \( S_{полн} \)

Решение:

Пусть линейные размеры параллелепипеда равны \( a, b, c \). Тогда площади граней равны: \( ab = 1 \), \( bc = 2 \), \( ac = 3 \).

Перемножим площади:

\( (ab)(bc)(ac) = 1 · 2 · 3 \)

\( a^2 b^2 c^2 = 6 \)

\( (abc)^2 = 6 \)

\( abc = \sqrt{6} \)

Полная поверхность параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней:

\( S_{полн} = 2(ab + bc + ac) \)

\( S_{полн} = 2(1 + 2 + 3) = 2 · 6 = 12 \text{ м}^2 \)

Ответ: Полная поверхность параллелепипеда равна 12 м².

3. Правильная пирамида

Дано:

• Правильная пирамида.


• Основание — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см.


• Боковое ребро \( l = 13 \text{ см} \)

Найти: Высоту пирамиды \( h \)

Решение:

1. Найдем диагональ основания \( d_{осн} \) по теореме Пифагора:

\( d_{осн} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \)

2. Радиус описанной окружности (основания) \( R \) равен половине диагонали основания:

\( R = \frac{d_{осн}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} \)

3. Высоту пирамиды \( h \) найдем по теореме Пифагора, используя боковое ребро и радиус описанной окружности:

\( h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \)

Ответ: Высота пирамиды равна 12 см.

4. Правильная пирамида

Дано:

• Правильная треугольная пирамида.


• Сторона основания \( a = 8 \text{ см} \)


• Боковое ребро \( l = 5 \text{ см} \)

Найти: Боковую поверхность пирамиды \( S_{бок} \)

Решение:

1. Найдем апофему \( h_a \) правильной треугольной пирамиды. Сначала найдем высоту основания \( h_{осн} \):

\( h_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см} \)

2. Найдем радиус вписанной окружности \( r \) (центр правильного треугольника лежит на высоте):

\( r = \frac{1}{3} h_{осн} = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ см} \)

3. Теперь найдем апофему \( h_a \) по теореме Пифагора, используя боковое ребро и радиус вписанной окружности:

\( h_a = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{25 - \frac{16 \cdot 3}{9}} = \sqrt{25 - \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{75 - 16}{3}} = \sqrt{\frac{59}{3}} \text{ см} \)

4. Боковая поверхность правильной пирамиды равна:

\( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_a \), где \( P_{осн} \) — периметр основания.

\( P_{осн} = 3a = 3 · 8 = 24 \text{ см} \)

\( S_{бок} = \frac{1}{2} · 24 · \sqrt{\frac{59}{3}} = 12 \sqrt{\frac{59}{3}} = 12 \frac{\sqrt{177}}{3} = 4\sqrt{177} \text{ см}^2 \)

Ответ: Боковая поверхность пирамиды равна \( 4\sqrt{177} \text{ см}^2 \).

5. Правильная пирамида

Правильная пирамида — это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника.

Ось правильной пирамиды — прямая, проходящая через вершину пирамиды и центр основания.

Апофема правильной пирамиды — высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды.

Дано:

• Правильная треугольная пирамида.


• Сторона основания \( a = 8 \text{ см} \)


• Боковое ребро \( l = 5 \text{ см} \)

Найти: Апофему пирамиды \( h_a \)

Решение:

1. Найдем высоту основания \( h_{осн} \):

\( h_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см} \)

2. Радиус вписанной окружности \( r \) (центр правильного треугольника лежит на высоте):

\( r = \frac{1}{3} h_{осн} = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ см} \)

3. Апофему \( h_a \) найдем по теореме Пифагора, используя боковое ребро \( l \) и радиус вписанной окружности \( r \):

\( h_a = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{25 - \frac{16 · 3}{9}} = \sqrt{25 - \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{75 - 16}{3}} = \sqrt{\frac{59}{3}} \text{ см} \)

Ответ: Апофема пирамиды равна \( \sqrt{\frac{59}{3}} \text{ см} \).

6. Круговой цилиндр

Круговой цилиндр — это тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Образующая цилиндра — отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и параллельный оси цилиндра.

Основания цилиндра — круги, лежащие в параллельных плоскостях.

Боковая поверхность цилиндра — поверхность, образованная образующими.

Прямой цилиндр — цилиндр, у которого образующие перпендикулярны основаниям.

Дано:

• Цилиндрическая дымовая труба.


• Диаметр \( d = 65 \text{ см} = 0.65 \text{ м} \)


• Высота \( h = 18 \text{ м} \)


• На заклепку уходит 10% материала.

Найти: Количество жести, нужное для изготовления \( S_{жести} \)

Решение:

1. Найдем радиус основания \( r \):

\( r = \frac{d}{2} = \frac{0.65}{2} = 0.325 \text{ м} \)

2. Площадь боковой поверхности цилиндра:

\( S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi · 0.325 · 18 = 11.7 \pi \text{ м}^2 \)

3. Площадь одного основания:

\( S_{осн} = \pi r^2 = \pi (0.325)^2 = 0.105625 \pi \text{ м}^2 \)

4. Общая площадь поверхности для изготовления (без учета запаса на заклепки):

\( S_{общ} = S_{бок} + 2 S_{осн} = 11.7 \pi + 2 · 0.105625 \pi = 11.7 \pi + 0.21125 \pi = 11.91125 \pi \text{ м}^2 \)

5. Учтем 10% материала на заклепки:

\( S_{жести} = S_{общ} · 1.1 = 11.91125 \pi · 1.1 \approx 13.102375 \pi \text{ м}^2 \)

\( S_{жести} \approx 13.102375 · 3.14159 \approx 41.16 \text{ м}^2 \)

Ответ: Для изготовления трубы нужно примерно 41.16 м² жести.

7. Радиус цилиндра, высота цилиндра, ось цилиндра, осевое сечение цилиндра

Осевое сечение цилиндра — сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.

Дано:

• Цилиндр.


• Радиус основания \( r = 2 \text{ м} \)


• Высота \( h = 3 \text{ м} \)

Найти: Диагональ осевого сечения \( d_{о.с.} \)

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания \( (2r) \) и высоте \( h \).

Диагональ этого прямоугольника \( d_{о.с.} \) найдем по теореме Пифагора:

\( d_{о.с.} = \sqrt{(2r)^2 + h^2} = \sqrt{(2 · 2)^2 + 3^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ м} \)

Ответ: Диагональ осевого сечения равна 5 м.