№2. Вычислите интеграл:

Краткое пояснение:

Для вычисления определенного интеграла мы находим первообразную подынтегральной функции и вычисляем разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Пошаговое решение:

а) \( \int_{0}^{1} (2x^2 + 3) dx \)

1. Шаг 1: Находим первообразную функции \( 2x^2 + 3 \).
   \( F(x) = \int (2x^2 + 3) dx = 2 \int x^2 dx + \int 3 dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} + 3x = \frac{2}{3}x^3 + 3x \)
2. Шаг 2: Вычисляем определенный интеграл.
   \( [\frac{2}{3}x^3 + 3x]_{0}^{1} = (\frac{2}{3}(1)^3 + 3(1)) - (\frac{2}{3}(0)^3 + 3(0)) \)
   \( = (\frac{2}{3} + 3) - (0) = \frac{2}{3} + \frac{9}{3} = \frac{11}{3} \)

Ответ: \(\frac{11}{3}\)

б) \( \int_{-\pi}^{\pi} \sin 2x dx \)

1. Шаг 1: Находим первообразную функции \( \sin 2x \).
   \( F(x) = \int \sin 2x dx = -\frac{1}{2} \cos 2x \)
2. Шаг 2: Вычисляем определенный интеграл.
   \( [-\frac{1}{2} \cos 2x]_{-\pi}^{\pi} = (-\frac{1}{2} \cos(2\pi)) - (-\frac{1}{2} \cos(-2\pi)) \)
   \( = (-\frac{1}{2} \cdot 1) - (-\frac{1}{2} \cdot 1) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \)

Ответ: 0

в) \( \int_{-1}^{2} (9x^2 - x - 2) dx \)

1. Шаг 1: Находим первообразную функции \( 9x^2 - x - 2 \).
   \( F(x) = \int (9x^2 - x - 2) dx = 9\int x^2 dx - \int x dx - \int 2 dx \)
   \( F(x) = 9 \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x = 3x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 2x \)
2. Шаг 2: Вычисляем определенный интеграл.
   \( [3x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 2x]_{-1}^{2} = (3(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2 - 2(2)) - (3(-1)^3 - \frac{1}{2}(-1)^2 - 2(-1)) \)
   \( = (3(8) - \frac{1}{2}(4) - 4) - (3(-1) - \frac{1}{2}(1) + 2) \)
   \( = (24 - 2 - 4) - (-3 - \frac{1}{2} + 2) \)
   \( = 18 - (-1 - \frac{1}{2}) = 18 - (-\frac{3}{2}) = 18 + \frac{3}{2} = \frac{36}{2} + \frac{3}{2} = \frac{39}{2} \)

Ответ: \(\frac{39}{2}\)

г) \( \int_{-5}^{1} \sqrt{2+x} dx \)

1. Шаг 1: Находим первообразную функции \( \sqrt{2+x} = (2+x)^{\frac{1}{2}} \).
   \( F(x) = \int (2+x)^{\frac{1}{2}} dx \)
   Применим замену \( u = 2+x \), тогда \( du = dx \).
   \( F(x) = \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}(2+x)^{\frac{3}{2}} \)
2. Шаг 2: Вычисляем определенный интеграл.
   \( [\frac{2}{3}(2+x)^{\frac{3}{2}}]_{-5}^{1} = \frac{2}{3}(2+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(2+(-5))^{\frac{3}{2}} \)
   \( = \frac{2}{3}(3)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(-3)^{\frac{3}{2}} \)
   Так как \( (-3)^{\frac{3}{2}} \) не является действительным числом (корень из отрицательного числа), этот интеграл не имеет действительного значения в заданных пределах. Однако, если предположить, что речь идет о вещественных числах, то интеграл от -5 до 1 не существует, так как \( \sqrt{2+x} \) не определена для \( x < -2 \). Предположим, что нижний предел интегрирования должен быть \( -2 \).
   Если предел \( -2 \):
   \( [\frac{2}{3}(2+x)^{\frac{3}{2}}]_{-2}^{1} = \frac{2}{3}(2+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(2+(-2))^{\frac{3}{2}} \)
   \( = \frac{2}{3}(3)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(0)^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} - 0 = 2\sqrt{3} \)

Ответ: Если нижний предел -5, интеграл не имеет действительного значения. Если нижний предел -2, то ответ \( 2\sqrt{3} \).