3. Методом интервалов решить неравенство 1). (x + 8)(x - 3) > 0; 2). 5 - x / x + 7 > 0; 3). x³ - 64x < 0.

Задание 3. Методом интервалов решить неравенства:

1) \( (x + 8)(x - 3) > 0 \)

• Корни уравнения \( (x + 8)(x - 3) = 0 \) равны \( x = -8 \) и \( x = 3 \).


• Разделим числовую прямую на интервалы: \( (-\infty; -8) \), \( (-8; 3) \), \( (3; +\infty) \).


• Проверим знаки в каждом интервале:




• При \( x = -9 \): \( (-9 + 8)(-9 - 3) = (-1)(-12) = 12 > 0 \)


• При \( x = 0 \): \( (0 + 8)(0 - 3) = (8)(-3) = -24 < 0 \)


• При \( x = 4 \): \( (4 + 8)(4 - 3) = (12)(1) = 12 > 0 \)




• Неравенство \( > 0 \) выполняется на интервалах, где знак "+".

Ответ: \( x \in (-\infty; -8) \cup (3; +\infty) \).

2) \( \frac{5 - x}{x + 7} > 0 \)

• Числитель равен нулю при \( 5 - x = 0 \), то есть \( x = 5 \).


• Знаменатель равен нулю при \( x + 7 = 0 \), то есть \( x = -7 \). Знаменатель не может быть равен нулю.


• Критические точки: \( x = -7 \) и \( x = 5 \).


• Разделим числовую прямую на интервалы: \( (-\infty; -7) \), \( (-7; 5) \), \( (5; +\infty) \).


• Проверим знаки дроби в каждом интервале:




• При \( x = -8 \): \( \frac{5 - (-8)}{-8 + 7} = \frac{13}{-1} = -13 < 0 \)


• При \( x = 0 \): \( \frac{5 - 0}{0 + 7} = \frac{5}{7} > 0 \)


• При \( x = 6 \): \( \frac{5 - 6}{6 + 7} = \frac{-1}{13} < 0 \)




• Неравенство \( > 0 \) выполняется на интервале, где знак "+".

Ответ: \( x \in (-7; 5) \).

3) \( x^3 - 64x < 0 \)

• Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x^2 - 64) < 0 \)


• Разложим разность квадратов: \( x(x - 8)(x + 8) < 0 \)


• Корни уравнения \( x(x - 8)(x + 8) = 0 \) равны \( x = 0 \), \( x = 8 \), \( x = -8 \).


• Расположим корни на числовой прямой в порядке возрастания: \( -8, 0, 8 \).


• Разделим числовую прямую на интервалы: \( (-\infty; -8) \), \( (-8; 0) \), \( (0; 8) \), \( (8; +\infty) \).


• Проверим знаки произведения в каждом интервале:




• При \( x = -9 \): \( (-9)(-9 - 8)(-9 + 8) = (-9)(-17)(-1) = -153 < 0 \)


• При \( x = -1 \): \( (-1)(-1 - 8)(-1 + 8) = (-1)(-9)(7) = 63 > 0 \)


• При \( x = 1 \): \( (1)(1 - 8)(1 + 8) = (1)(-7)(9) = -63 < 0 \)


• При \( x = 9 \): \( (9)(9 - 8)(9 + 8) = (9)(1)(17) = 153 > 0 \)




• Неравенство \( < 0 \) выполняется на интервалах, где знак "-".

Ответ: \( x \in (-\infty; -8) \cup (0; 8) \).

4) \( \frac{(x + 3)(4x - 1)}{x + 5} ≤ 0 \)

• Числитель равен нулю при \( x + 3 = 0 \) (т.е. \( x = -3 \)) и \( 4x - 1 = 0 \) (т.е. \( x = \frac{1}{4} \)).


• Знаменатель равен нулю при \( x + 5 = 0 \) (т.е. \( x = -5 \)). Знаменатель не может быть равен нулю.


• Критические точки: \( x = -5 \) (не включается), \( x = -3 \) (включается), \( x = \frac{1}{4} \) (включается).


• Расположим их на числовой прямой: \( -5, -3, \frac{1}{4} \).


• Разделим числовую прямую на интервалы: \( (-\infty; -5) \), \( (-5; -3] \), \( [-3; \frac{1}{4}] \), \( [\frac{1}{4}; +\infty) \).


• Проверим знаки дроби в каждом интервале:




• При \( x = -6 \): \( \frac{(-6 + 3)(4(-6) - 1)}{-6 + 5} = \frac{(-3)(-24 - 1)}{-1} = \frac{(-3)(-25)}{-1} = \frac{75}{-1} = -75 ≤ 0 \)


• При \( x = -4 \): \( \frac{(-4 + 3)(4(-4) - 1)}{-4 + 5} = \frac{(-1)(-16 - 1)}{1} = \frac{(-1)(-17)}{1} = 17 > 0 \)


• При \( x = 0 \): \( \frac{(0 + 3)(4(0) - 1)}{0 + 5} = \frac{(3)(-1)}{5} = \frac{-3}{5} ≤ 0 \)


• При \( x = 1 \): \( \frac{(1 + 3)(4(1) - 1)}{1 + 5} = \frac{(4)(3)}{6} = \frac{12}{6} = 2 > 0 \)




• Неравенство \( ≤ 0 \) выполняется на интервалах, где знак "-", включая корни числителя.

Ответ: \( x \in (-\infty; -5) \cup [-3; \frac{1}{4}] \).