3. Из центра окружности О к хорде АВ, равной 20 см, проведен перпендикуляр ОС. Найдите его длину, если ∠ОВА = 45°.

Решение:

Пусть \( \triangle OAB \) — равнобедренный треугольник, так как \( OA = OB \) (радиусы окружности). По условию \( \angle OBA = 45^{\circ} \).

Так как \( \triangle OAB \) равнобедренный, то \( \angle OAB = \angle OBA = 45^{\circ} \).

Найдем \( \angle AOB \):

\( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).

\( OC \) — перпендикуляр к хорде \( AB \), проведенный из центра окружности. В равнобедренном треугольнике \( \triangle OAB \) высота \( OC \) является также медианой и биссектрисой.

Значит, \( OC \) делит хорду \( AB \) пополам:

\( AC = CB = \frac{AB}{2} = \frac{20 \text{ см}}{2} = 10 \text{ см} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OCB \).

\( \angle OCB = 90^{\circ} \), \( \angle OBA = 45^{\circ} \), \( CB = 10 \text{ см} \).

Так как \( \angle OBA = 45^{\circ} \), то \( \triangle OCB \) — равнобедренный прямоугольный треугольник, где \( OC = CB \).

Следовательно, \( OC = 10 \text{ см} \).

Ответ: 10 см.