3. Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания A и B, если ∠AOM = 60°, MA = 12.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому \(\triangle AOM\) прямоугольный, \(\angle OAM=90^\circ\).

В треугольнике AOM:

\(\tan 60^\circ=\frac{MA}{OA}\).

Следовательно, \(OA=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3\).

Треугольники AOM и BOM равны, поэтому OM делит угол AOB пополам. Значит, \(\angle AOB=2\cdot60^\circ=120^\circ\).

Длина хорды AB:

\(AB=2\cdot OA\cdot\sin\frac{\angle AOB}{2}=2\cdot4\sqrt3\cdot\sin60^\circ=8\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12\).

Ответ: 12.