3. Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АМ и ВМ (А и В - точки касания). Найдите периметр треугольника АВМ, если <АОВ = 120°.

Дано:

• Окружность с центром О и радиусом R = 8 см.
• АМ и ВМ — касательные к окружности.
• А и В — точки касания.
• <AOB = 120°.

Решение:

1. Так как АМ и ВМ — касательные, проведенные из одной точки М к окружности, то АМ = ВМ.
2. Радиусы ОА и ОВ, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. То есть, <МАО = <МВО = 90°.
3. В четырехугольнике АМВО сумма углов равна 360°.
4. <AMB = 360° - <AOB - <MAO - <MBO = 360° - 120° - 90° - 90° = 60°.
5. Треугольник АМВ является равнобедренным (АМ = ВМ), и у него один из углов равен 60° (<AMB).
6. Следовательно, треугольник АМВ является равносторонним. Все его углы равны 60°.
7. Найдем длину касательной АМ (или ВМ) с помощью прямоугольного треугольника МАО.
8. В треугольнике МАО:
   • <AOM = <AOB / 2 = 120° / 2 = 60°.
   • $$tg(∠AOM) = AM/OA$$.
   • $$tg(60°) = AM/8$$.
   • $$AM = 8 · tg(60°)$$.
   • $$AM = 8 · √{3}$$ см.
9. Так как треугольник АМВ равносторонний, то АМ = ВМ = АВ = $$8 · √{3}$$ см.
10. Периметр треугольника АВМ = АМ + ВМ + АВ.
11. Периметр = $$8√{3} + 8√{3} + 8√{3} = 24√{3}$$ см.

Ответ: $$24√{3}$$ см