2. Из точки А к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АВ и АС (В и С – точки касания). Найдите АВ и АС, если <ВАС = 60°.

Дано:

• Окружность с центром О и радиусом R = 8 см.
• АВ и АС — касательные к окружности.
• В и С — точки касания.
• <ВАС = 60°.

Решение:

1. Так как АВ и АС — касательные, проведенные из одной точки А к окружности, то АВ = АС.
2. Радиусы ОВ и ОС, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. То есть, <АВО = <АСО = 90°.
3. В четырехугольнике АВОС сумма углов равна 360°.
4. <BOC = 360° - <BAC - <ABO - <ACO = 360° - 60° - 90° - 90° = 120°.
5. Рассмотрим треугольник АВО. Он прямоугольный.
6. В треугольнике АВО: <AOB = 180° - <BOC / 2 = 180° - 120° / 2 = 180° - 60° = 120° (или <AOB = <AOC = <BOC / 2 = 120° / 2 = 60°).
7. Рассмотрим треугольник АВО. Угол <AOB = 60°.
8. В прямоугольном треугольнике АВО:
   • $$tg(∠AOB) = AB/OA$$.
   • $$tg(60°) = AB/8$$.
   • $$AB = 8 · tg(60°)$$.
   • $$AB = 8 · √{3}$$ см.
9. Так как АВ = АС, то АС = $$8 · √{3}$$ см.

Ответ: AB = AC = $$8 · √{3}$$ см