3. Из точки К к окружности с центром в точке О проведены касательные КМ и КМ (точки М и № лежат на окружности); длина отрезка КО — 10 см, угол МОМ равен 120°. Найти радиус окружности.

Решение:

В условии задачи, вероятно, опечатка: касательные КМ и КN. Рассмотрим свойства касательных:

1. Касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны: \( KM = KN \).
2. Центр окружности \( O \) лежит на биссектрисе угла между касательными \( \angle MKN \), а значит, и на биссектрисе \( \angle MON \).
3. Радиусы \( OM \) и \( ON \) перпендикулярны касательным \( KM \) и \( KN \) соответственно: \( \angle KMO = \angle KNO = 90^{\circ} \).

В четырёхугольнике \( KM ON \):

\( \angle MON = 120^{\circ} \) (по условию).

\( \angle KMO = \angle KNO = 90^{\circ} \) (свойство касательной).

Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^{\circ} \). Значит, \( \angle MKN = 360^{\circ} - 120^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle KMO \). Он прямоугольный, \( \angle KMO = 90^{\circ} \).

\( KO = 10 \) см (гипотенуза).

Поскольку \( OK \) — биссектриса \( \angle MON \), то \( \angle MOK = \frac{1}{2} \angle MON = \frac{1}{2} × 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

В прямоугольном \( \triangle KMO \):

\( OM = KO \cdot \sin(\angle MOK) \) (радиус \( OM \) — катет, противолежащий углу \( \angle MOK \)).

\( OM = 10 \cdot \sin(60^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.

Ответ: \( 5\sqrt{3} \) см.