3. Исследовать функцию на монотонность и экстремум: f(x) = 2x³ - 3x² - 12x + 1

3. Исследование функции на монотонность и экстремум:

Дана функция \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 \).

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = (2x^3 - 3x^2 - 12x + 1)' = 6x^2 - 6x - 12 \).
2. Найдем точки, в которых производная равна нулю: \( f'(x) = 0 \)
   \( 6x^2 - 6x - 12 = 0 \)
   \( x^2 - x - 2 = 0 \)
   \( (x-2)(x+1) = 0 \)
   \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 2 \).
3. Определим знаки производной на интервалах:
   • При \( x < -1 \), например, \( x = -2 \): \( f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 6(4) + 12 - 12 = 24 > 0 \). Функция возрастает.
   • При \( -1 < x < 2 \), например, \( x = 0 \): \( f'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 12 = -12 < 0 \). Функция убывает.
   • При \( x > 2 \), например, \( x = 3 \): \( f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 6(9) - 18 - 12 = 54 - 30 = 24 > 0 \). Функция возрастает.
4. Определим точки экстремума:
   • В точке \( x = -1 \) производная меняет знак с '+' на '-', следовательно, это точка максимума.
   • В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с '-' на '+', следовательно, это точка минимума.
5. Найдем значения функции в точках экстремума:
   • \( f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 1 = -2 - 3 + 12 + 1 = 8 \) (максимум)
   • \( f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 2(8) - 3(4) - 24 + 1 = 16 - 12 - 24 + 1 = -19 \) (минимум)

Ответ: функция возрастает на \( (-\infty; -1) \) и \( (2; +\infty) \), убывает на \( (-1; 2) \). Точка максимума \( x = -1 \), \( f_{max} = 8 \). Точка минимума \( x = 2 \), \( f_{min} = -19 \).