3. Игральную кость бросают дважды. Являются ли независимыми события М «на второй кости выпало больше двух очков» и N «сумма очков равна семи»? Ответ объясните.

Решение:

Для определения независимости событий M и N, проверим, выполняется ли условие \( P(M \cap N) = P(M) \times P(N) \).

1. Общее число исходов:

При бросании игральной кости дважды всего \( 6 \times 6 = 36 \) исходов.

2. Событие M: «на второй кости выпало больше двух очков»

На второй кости могло выпасть: 3, 4, 5, 6. Это 4 исхода.

Число благоприятных исходов для M: \( 6 \times 4 = 24 \).

Вероятность события M: \( P(M) = \frac{24}{36} = \frac{2}{3} \).

3. Событие N: «сумма очков равна семи»

Благоприятные исходы для N: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1). Всего 6 исходов.

Вероятность события N: \( P(N) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \).

4. Событие \( M \cap N \): «на второй кости выпало больше двух очков И сумма очков равна семи»

Рассмотрим исходы, где сумма равна 7, и проверим условие для события M:

• (1;6): на второй кости 6 (больше 2) — подходит.
• (2;5): на второй кости 5 (больше 2) — подходит.
• (3;4): на второй кости 4 (больше 2) — подходит.
• (4;3): на второй кости 3 (больше 2) — подходит.
• (5;2): на второй кости 2 (не больше 2) — не подходит.
• (6;1): на второй кости 1 (не больше 2) — не подходит.

Число благоприятных исходов для \( M \cap N \): 4.

Вероятность события \( M \cap N \): \( P(M \cap N) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \).

5. Проверка условия независимости:

Сравним \( P(M \cap N) \) и \( P(M) \times P(N) \):

\( P(M) \times P(N) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \).

Так как \( P(M \cap N) = P(M) \times P(N) \) (\( \frac{1}{9} = \frac{1}{9} \)), события M и N являются независимыми.

Ответ: События M и N являются независимыми, так как вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей.